頻域卷積定理
卷積定理是傅立葉變換滿足的一個重要性質。卷積定理指出,函數卷積的傅立葉變換是函數傅立葉變換的乘積。具體分為時域卷積定理和頻域卷積定理,時域卷積定理即時域內的卷積對應頻域內的乘積;頻域卷積定理即頻域內的卷積對應時域內的乘積,兩者具有對偶關係。
卷積定理的應用在很多涉及積分變換、積分方程的文章中都有所體現。常見的一些重要的積分變換,例如:Mellin變換、Laplace變換、Fourier變換等都具有所謂的卷積性質(Convolution Property)。這裏要注意的是,針對不同的積分變換,卷積性質的形式不是完全相同的,只要一些基本的結構得到保留就可以了。
卷積定理還可以簡化卷積的運算量。對於長度為 的序列,按照卷積的定義進行計算,需要做 組對位乘法,其計算複雜度為 ;而利用傅里葉變換將序列變換到頻域上後,只需要一組對位乘法,利用傅里葉變換的快速算法之後,總的計算複雜度為 。這一結果可以在快速乘法計算中得到應用。
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