凸函數二階導數
1、定義為:
設函數f(x)在區間I上有定義,若對I中的任意兩點x₁和x₂,和任意λ∈(0,1),都有:
f(λx₁+(1-λ)x₂)>=λf(x₁)+(1-λ)f(x₂),則稱f為I上的凸函數,若不等號嚴格成立,即“>”號成立,則稱f(x)在I上是嚴格凸函數。
同理,如果">=“換成“<=”就是凹函數。類似也有嚴格凹函數。
2、從幾何上看就是:
在函數f(x)的圖象上取任意兩點,如果函數圖象在這兩點之間的部分總在連接這兩點的線段的下方,那麼這個函數就是凹函數。同理可知,如果函數圖像在這兩點之間的部分總在連接這兩點線段的上方,那麼這個函數就是凸函數。
直觀上看,凸函數就是圖象向上突出來的。
如果函數f(x)在區間I上二階可導,則f(x)在區間I上是凸函數的充要條件是f''(x)<=0;f(x)在區間I上是凹函數的充要條件是f''(x)>=0。
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