收斂數列一定有界嗎
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收斂數列一定是有界的,收斂的數列{xn},在n→∞時,xn→A,這個A是一個固定的極限值,是一個常數,所以必然有界。但這個有界不是說上下界都有,只有上界、或只有下界、或上下界都有均可以叫有界。
有界的數列不一定收斂,最簡單的例子xn=sin(n),或者xn=(-1)^n,它們都是有界數列,但n→∞時,xn的極限不存在,所以不收斂。也就是說前面有限個(1到N)當然有界,後面無窮多個(N+1開始)被極限控制住。
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