有界函式一定可積嗎
經驗2.73W
有界函式不一定可積。設f(x)在區間(a,b)上有界,且只有有限個間斷點,則f(x)在(a,b)上可積。所以有界不一定可積。例如狄利克雷函式f(x)=1(x是有理數的時候),而f(x)=0(x是無理數的時候),所以f(x)是有界的。但f(x)在任意區間內有無數個間斷點,所以這個函式在任意區間內不可積。
如果一個函式的積分存在,並且有限,就說這個函式是可積的。一般來說,被積函式不一定只有一個變數,積分域也可以是不同維度的空間,甚至是沒有直觀幾何意義的抽象空間。對於只有一個變數x的實值函式f,f在閉區間[a,b]上的積分記作。
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