分塊矩陣求逆矩陣的方法
逆矩陣是對方陣定義的,因此逆矩陣一定是方陣。設B與C都為A的逆矩陣,則有B=C,假設B和C均是A的逆矩陣,B=BI=B(AC)=(BA)C=IC=C,因此某矩陣的任意兩個逆矩陣相等。由逆矩陣的唯一性,A-1的逆矩陣可寫作(A-1)-1和A,因此相等。
矩陣A可逆,有AA-1=I。(A-1)TAT=(AA-1)T=IT=I,AT(A-1)T=(A-1A)T=IT=I
由可逆矩陣的定義可知,AT可逆,其逆矩陣為(A-1)T。而(AT)-1也是AT的.逆矩陣,由逆矩陣的唯一性,因此(AT)-1=(A-1)T。
性質:
①同結構的分塊上(下)三角形矩陣的和(差)、積(若乘法運算能進行)仍是同結構的分塊矩陣。
②數乘分塊上(下)三角形矩陣也是分塊上(下)三角形矩陣。
③分塊上(下)三角形矩陣可逆的充分必要條件是的主對角線子塊都可逆;若可逆,則的逆陣也是分塊上(下)三角形矩陣。
④分塊上(下)三角形矩陣對應的行列式。
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