根號5是無理數嗎
根號5是無理數,常用的有2種方法來計算:(1)級數法。利用根號下(1+x)的泰勒展開式。(2)迭代算法。利用迭代公式:x0=a/2,x(n+1)=(xn+a/xn)/2。
證明過程1、設根號下5不是無理數而是有理數,則設根號下5=p/q(p,q是正整數,且互為質數,即最大公約數是1)。
2、兩邊平方,5=p^2/q^2,p^2=5q^2(*)。
3、p^2含有因數5,設p=5m,代入(*),25m^2=5q^2,q^2=5m^2,q^2含有因數5,即q有因數5。
4、這樣p,q有公因數5,這與假設p,q最大公約數為1矛盾。
5、根號下5=p/q(p,q是正整數,且互為質數,即最大公約數是1)不成立,
所以,根號下5不是有理數而是無理數。
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