如何正確地理解貝特朗悖論

1899年，法國學者貝特朗提出了貝特朗悖論，矛頭直指幾何概率概念本身：在一給定圓內所有的弦中任選一條弦，求該弦的長度長於圓的內接正三角形邊長的概率。

悖論分析：

由於對稱性，可預先固定弦的一端。僅當弦與過此端點的切線的交角在60度到120度之間，其長才合乎要求。所有方向是等可能的，則所求概率為三分之一 。此時假定端點在圓周上均勻分佈；由於對稱性，可預先指定弦的方向。作垂直於此方向的直徑，只有交直徑於四分之一點與四分之三點間的弦，其長才大於內接正三角形邊長。所有交點是等可能的，則所求概率為二分之一。此時假定弦的中心在直徑上均勻分佈；弦被其中點位置唯一確定。只有當弦的中點落在半徑縮小了一半的同心圓內，其長才合乎要求。中點位置都是等可能的，則所求概率為四分之一。此時假定弦長被其中心唯一確定。

這導致同一事件有不同概率，因此為悖論。