為什麼正多面體只有5種
1、證明:設正多面體的每個面是正n邊行,每個頂點是m條稜,於是,稜數E應是F(面數)與n的積的一半,即Nf=2E(1式)。同時,E應是V(頂點數)與M的積的一半,即mV=2E(2式)。由1式、2式,得,F=2E/n,V=2E/m,代入歐拉公式V+F-E=2,有2E/m+2E/n-E=2整理後,得1/m+1/n=1/2+1/E。
2、由於E是正整數,所以1/E>0。因此1/m+1/n>1/2(3式),3式説明m,n不能同是大於3,否則3式不成立。另一方面,由於m和n的意義(正多面體一個頂點處的稜數與多邊形的邊數)知,m>=3且n>=3。因此m和n至少有一個等於3。
3、當m=3時,因為1/n>1/2-1/3=1/6,n又是正整數,所以n只能是3,4,5。
4、同理n=3,m也只能是3,4,5,所以nm類型,33正四面體,43正六面體,34正八面體,53正十二面體,35正二十面體,由於上述5種多面體確實可以用幾何方法作出,而不可能有其他種類的正多面體,所以正多面體只有5種。
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